Question

如图，抛物线y=-x²++1与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）．
（1）A点的坐标是______，B点的坐标是______；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为x秒，线段MN的长为s个单位，求s与x的函数关系式；
（4）在（3）的条件下（不考虑点P与点O、点C重合的情况），连接CM，BN，四边形BCMN能否为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把x=0代入y=-x²+x+1得，y=1，
把x=3代入y=-x²+x+1得，y=-×3²+×3+1=，
所以，点A、B两点的坐标分别（0，1），（3，）
故答案为：（0，1），（3，）；

（2）设直线AB的函数关系式为y=kx+b，代入A、B的坐标，得，
，
解得，
∴直线AB的函数关系式为y=x+1；

（3）∵点P在线段OC上，从原点O出发以每秒一个单位的速度向C移动，
∴x秒时点M、N的横坐标为x，
∴点M的纵坐标为x+1，点N的纵坐标为-x²+x+1，
∴MN=-x²+x+1-x-1=-x²+x，
即s=-x²+x，
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤x≤3；

（4）能．
在四边形BCMN中，∵BC∥MN，
∴当BC=MN时，四边形BCMN为平行四边形，
此时，-x²+x=，
整理得，x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
所以，当点P（1，0）或（2，0）时，四边形BCMN是平行四边形．
分析：（1）令x=0，代入抛物线求出y的值即可得到点A的坐标，把x=3代入抛物线解析式求出y的值即可得到点B的坐标；
（2）设直线AB的函数关系式式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入求出k、b的值，即可得解；
（3）根据点P的速度求出点MN的横坐标为x，然后代入求出点M、N的纵坐标，相减即可求出MN的长度，从而得到s与x的函数关系式；
（4）根据平行四边形的对边相等可得MN=BC，然后列式进行计算求出x的值，即可得到点P的坐标．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，平行于y轴的直线上两点间的距离表示，平行四边形对边平行且相等的性质，综合性较强，但难度不大．