Question

探究：如图（1），在?ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．
应用：以?ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图（2），连接EF，GH，IJ，KL．若?ABCD的面积为6，则图中阴影部分四个三角形的面积和为______．
推广：以?ABCD的四条边为矩形长边，在其形外分别作长与宽之比为矩形，如图（3），连接EF，GH，IJ，KL．若图中阴影部分四个三角形的面积和为12，求?ABCD的面积？

Answer 1

【答案】分析：探究：求出AF=AB，AE=AD=BC，∠FAE=∠ABC，根据SAS推出两三角形全等即可；
应用：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，过I作IZ⊥JC交JC的延长线于Z，过G作GR⊥BH于R，根据平行四边形的面积得出S_{平行四边形ABCD}=AD×BO=CD×BS=6，根据平行四边形的性质得出AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，求出∠EAQ=∠BAD=∠BCS，证△EQA≌△BSC，求出EQ=BS，求出AF×EQ=CD×BS=6，推出S_△EAF=AF×EQ=3，同理S_△CIJ=3，S_LDK=LD×KW=AD×BO=×6=3，即可得出答案；
推广：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，求出S_{平行四边形ABCD}=AD×BO=CD×BS，设AD=BC=a，AB=CD=b，∠BAD=∠BCD，求出∠EAQ=∠BAD=∠BCS，∠Q=∠BSC=90°，证△EQA∽△BSC，求出BS=EQ，求出S_{平行四边形ABCD}=6S_△EAF，同理S_{平行四边形ABCD}=6S_△LDK=6S_△GBH=6S_△ICJ，求出S_△EAF=S_△LDK=S_△GBH=S_△ICJ=3，即可得出答案．
解答：探究：△ABC或△ADC，
证明：∵△AFB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠FAE+∠DAB=360°-90°-90°=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=AE，AB=CD=AF，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠FAE=∠ABC，
在△FAE和△ABC中
，
∴△FAE≌△ABC，
同法可求△FAE≌△CDA；


应用：
解：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，过I作IZ⊥JC交JC的延长线于Z，过G作GR⊥BH于R，
则∠Q=∠BSC=90°，S_{平行四边形ABCD}=AD×BO=CD×BS=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABGF、四边形BCIH、四边形CDKJ、四边形ADKL是正方形，
∴AE=AD=BC，DK=CD=AB，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
在△EQA和△BSC中
，
∴△EQA≌△BSC，
∴EQ=BS，
∵AF=AB=CD，
∴AF×EQ=CD×BS=6，
∴S_△EAF=AF×EQ=×6=3，
同理S_△CIJ=3，S_LDK=LD×KW=AD×BO=×6=3，
S_△GBH=3，
∴图中阴影部分四个三角形的面积和为3+3+3+3=12，
故答案为：12；

推广：
解：B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，
则∠Q=∠BSC=90°，S_{平行四边形ABCD}=AD×BO=CD×BS，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABGF、四边形BCIH、四边形CDKJ、四边形ADKL是矩形，
∴AE=DL=a，AF=BG=b，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
∠Q=∠BSC=90°，
∴△EQA∽△BSC，
∴==，
∴BS=EQ，
∵AF=b，AD=a，AF=b，
∴S_△EAF=AF×EQ=b•EQ，
∵S_{平行四边形ABCD}=AB×BS=b•EQ=3×2×b•EQ=6S_△EAF，
同理S_{平行四边形ABCD}=6S_△LDK=6S_△GBH=6S_△ICJ，
∴S_△EAF=S_△LDK=S_△GBH=S_△ICJ，
∵图中阴影部分四个三角形的面积和为12，
∴S_△EAF=S_△LDK=S_△GBH=S_△ICJ=3，
∴平行四边形ABCD的面积是6×3=18．
点评：本题考查了平行四边形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目比较好，求解过程类似．