Question

如图，平面直角坐标系中，点A（4，0），直线AB与y轴交于点B，S_△AOB=6，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动．
（1）求B点坐标．
（2）过点B作射线L∥x轴，动点Q从B出发，以每秒2个单位的速度，沿射线L运动．若动点P、Q同时运动，过点A作AC⊥AB，射线AC与射线PQ、射线L分别交于点C、K．设运动时间为t秒，线段KQ的长为y个单位．求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，若D为BC中点．在点P、Q运动过程中是否存在t值，以A、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（4，0），
∴AO=4，设B（0，b），
∴BO=b，
∵S_△AOB=6，
∴AO•OB=×4b=6，
∴b=3
∴B（0，3）

（2）如图2，∵AK⊥AB，
∴∠BAK=90°，
∴∠BAO+∠KAE=90°
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴△ABO∽△KAE，
∴，
∴，
∴AE=，
∴BK=．
当点Q在线段BK之间时，KQ=BK-QB，
∴y=-2t（0≤t≤）．
当点Q在线段BK的延长线上时，KQ=QB-BK，
∴y=2t-（＜t＜）


（3）如图3，当点Q在线段BK之间时，
∵四边形ADQC是平行四边形，
∴DQ∥AC，
∵D为BC中点，
∴BQ=KQ，
∴2t=
∴t=
当点Q在线段BK的延长线上时，如图4，作QH⊥OA，
∴QH=3，PH=t-4，AH=2t-4，在Rt△PQH和Rt△AQH中由勾股定理，得
PQ=，AQ=，
∵四边形ADCQ是平行四边形，
∴AD∥CQ，DC=AQ，AD=CQ
∵BQ∥OH，
∴四边形AFQP是平行四边形，
∴AF=PQ=，
∵D为BC中点，
∴DC=BC，
∵∠BAC=90°，
∴AD=BC，
∴AD=DC，
∴AD=AQ=CQ，
∴AD=CQ=，
∴DF=-．
∵D为BC中点，AD∥CQ，
∴BF=FQ，
∴DF是△BQC的中位线，
∴，
∴=，解得：t=
∴t=或 t=

分析：（1）由于点B在y轴上，设点B（0，b），就可以表示出OB=b，由点A的坐标表示出OA的长度，用三角形的面积公式就可以求出b值，从而求出点B的坐标．
（2）如图2，当Q点在BK之间时和点Q在BK的延长线上时进行解答，作出KD⊥OA于点D，则KD=3，由相似三角形的性质可以得出AD的长，当Q在BK的延长线上时，由题意知道2t-KQ＜t，从而可以求出其解析式及取值范围．
（3）根据平行四边形的性质可以分两种情况讨论它的存在性，当Q在BK之间时四边形ADCQ是平行四边形和Q在BK的延长线上时四边形ADCQ是平行四边形利用勾股定理就可以求出相应的t值．
点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了一次函数的图象的性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，三角形中位线的性质．