Question

16．如图，平面直角坐标系中，A（-4，0），B（0，4），过x轴正半轴上的点C作y轴的平行线，交直线AB于点D，P为直线CD上任意一点．作直线OP交直线AB于点Q，连接CQ．
（1）若tan∠POC=3，点Q的坐标是（2，6）；
（2）当△CPQ是腰底之比为1：$\sqrt{3}$等腰三角形时，点P的坐标是（4$\sqrt{3}$+4，4$\sqrt{3}$+12）或（4$\sqrt{3}$-4，4$\sqrt{3}$-12）．

Answer 1

分析 （1）先根据已知条件求得直线OP与AB的解析式，再解方程组，求得交点Q的坐标即可；
（2）分情况讨论：当点P在x轴上方时，若△CPQ是腰底之比为1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，可得∠QPC=∠QCP=30°，∠OQC=60°；当点P在x轴下方时，若△CPQ是腰底之比为1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，可得∠CQP=∠CPQ=30°，∠POC=60°=∠AOQ，分别过点Q作QH⊥x轴于H，根据△AQH是等腰直角三角形，列方程求解即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）根据tan∠POC=3，可得$\frac{PC}{OC}$=3，
∴直线OP的解析式为y=3x，
根据A（-4，0），B（0，4），可得
直线AB的解析式为y=x+4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴点Q的坐标是（2，6）；
（2）①如图所示，当点P在x轴上方时，若△CPQ是腰底之比为1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，则
∠QPC=∠QCP=30°，∠OQC=60°，
∵∠PCO=90°，
∴∠QOC=60°，
∴△OCQ是等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于 H，则OH=$\frac{1}{2}$OC，QH=$\sqrt{3}$OH，
设OC=x，则OH=$\frac{1}{2}$x，QH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠BAO=45°=∠AQH，
∴AH=QH，即4+$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得x=4$\sqrt{3}$+4，
∴OC=4$\sqrt{3}$+4，CP=$\sqrt{3}$OC=4$\sqrt{3}$+12，
即P（4$\sqrt{3}$+4，4$\sqrt{3}$+12）；
②如图所示，当点P在x轴下方时，若△CPQ是腰底之比为1：$\sqrt{3}$的等腰三角形，则
∠CQP=∠CPQ=30°，∠POC=60°=∠AOQ，
∴∠QCO=60°-30°=30°，
∴∠CQP=∠QCO=30°，
∴QO=CO，
过点Q作QH⊥AO于H，则∠HQO=30°，
∴HO=$\frac{1}{2}$QO=$\frac{1}{2}$OC，QH=$\sqrt{3}$HO，
设OC=x，则OH=$\frac{1}{2}$x，HQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，AH=AO-HO=4-$\frac{1}{2}$x，
∵∠BAO=45°=∠AQH，
∴AH=QH，即4-$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得x=4$\sqrt{3}$-4，
∴OC=4$\sqrt{3}$-4，CP=$\sqrt{3}$OC=12-4$\sqrt{3}$，
即P（4$\sqrt{3}$-4，4$\sqrt{3}$-12）．

点评 本题主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，解题时注意分类思想和方程思想的运用．