Question

关于x的一元二次方程x²-6x+k=0的一个根是2．
（1）求k的值和方程的另一个根x₂；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，x₂），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵2是一元二次方程x²-6x+k=0的一个根，
∴2-12+k=0，
∴k=8．（2分）
∴一元二次方程为x²-6x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
∴x₁=2，x₂=4
∴一元二次方程为x²-6x+8=0的另一个根x₂=4．（4分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4）
∴
解得k=-2，b=4（6分）
直线AB的解析式：y=-2x+4．（8分）

（3）画图正确（9分）
第一种：AB是斜边，∠APB=90°
∵∠AOB=90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB=90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形．（11分）
第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP=90°
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设P的坐标为（x，0）
∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4，OP=-x，
∴BP²=OP²+OB²=x²+4²，AB²=OA²+OB²=2²+4²，AP²=（OA+OP）²=（2-x）²．
∵AP²=BP²+AB²，
∴x²+4²+2²+4²=（2-x）²，
解得x=-8
∴当点P的坐标为（-8，0），△ABP是直角三角形．（13分）
第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP=90°
∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，
∴∠BAP＞90°
∴∠BAP=90°的情况不存在．（14分）
∴当点P的坐标为（-8，0）或（0，0）时，△ABP是直角三角形．
分析：（1）利用一元二次方程的解的定义，将x=2代入原方程，列出关于k的方程，通过解方程求得k值后，再根据根与系数的关系求得方程的另一个根；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式；
（3）分类讨论：①AB是斜边，∠APB=90°；②AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP=90°；③设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP=90°．
点评：本题综合考查了一元二次方程的解、待定系数法求一次函数的解析式、根与系数的关系、勾股定理的逆定理等知识点．注意：第（2）题需要分类讨论．