Question

12．已知，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），点C为线段OA上一点（点O为原点），则AB+BC的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，作点A关于直线OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C交直线OB于B，则CD=AB+BC的最小值，根据已知条件得到∠AOB=30°，根据直角三角形的性质得到AH=$\frac{1}{2}$OA，于是得到距离．

解答 解：∵点B（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
∴点B在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的直线上，
如图，作点A关于直线OB的对称点D，过D作DC⊥OA于C交直线OB雨B，
则CD=AB+BC的最小值，
∵B（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m），
∴tan∠BOC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∵∠AHO=90°，
∴AH=$\frac{1}{2}$OA，
∵A（4，0），
∴OA=4，
∴AD=2AH=4，
∴DC=2$\sqrt{3}$，
∴AB+BC的最小值=2$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称-最小距离问题，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．