Question

提出问题：在△ABC中，已知AB=

5

，BC=

10

，AC=

13

，求这个三角形的面积．小明同学在解答这个题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出这个格点三角形（即三角形三个顶点都在小正方形的顶点处）如图①所示，这样就不用求三角形的高，而借用网格就能计算出三角形的面积了．
（1）请你将△ABC的面积直接写出来：

 

．
问题延伸：
（2）我们把上述求三角形面积的方法叫构图法．若△ABC三边长分别为2

2

a，

13

a，

17

a（a＞0），
请利用图②的正方形网格（每个小正方形边长是a）画出相应的△ABC，并写出它的面积

 

．
探索创新：
（3）若△ABC三边长分别为2

m2+n2

，

9m2+4n2

，

m2+16n2

（m＞0，n＞0，且m≠n）试用构图法求这个三角形面积．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的面积

专题：网格型

分析：（1）△ABC的面积=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）2

2

a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；

13

a是直角边长为3a，2a的直角三角形的斜边；

17

a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是的直角边长为2m，2n直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为m，4n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．

解答：解：（1）

7

2

；

（2）如图：

S_△ABC=3a×4a-

1

2

×2a×2a-

1

2

×2a×3a-

1

2

a×4a=5a²；

（3）解：构造△ABC所示，

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×2m×2n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×m×4n=5mn．

点评：本题是开放性的探索问题，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．