Question

13．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC=$\frac{24}{7}$，则sin∠C的值为（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，根据内心的性质得∠OBI=∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC，接着在Rt△ABH中，利用正切的定义得到tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{24}{7}$，于是可设BH=24x，AH=7x，利用勾股定理得到AB=25x，则AC=AB=25x，CH=AC-AH=18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理计算出BC=30x，再利用正弦的定义计算sinC的值．

解答 解：延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，
∵OB=OI，
∴∠OBI=∠OIB，
∴∠DBI=∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI为⊙O的切线，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC，
在Rt△ABH中，tan∠BAH=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{24}{7}$，
设BH=24x，AH=7x，
∴AB=$\sqrt{B{H}^{2}+A{H}^{2}}$=25x，
∴AC=AB=25x，
∴CH=AC-AH=25x-7x=18x，
在Rt△BCH中，BC=$\sqrt{C{H}^{2}+B{H}^{2}}$=30x，
∴sinC=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{24x}{30x}$=$\frac{4}{5}$．
故选B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等腰三角形的判定与性质．