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    如图1，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点为A（0，3），交x轴于点B、C（点B在点C的左侧，）顶点为E（1，4），过点A作x轴的平行线AL，

    （1）求抛物线的解析式及B点的坐标；
    （2）点P从顶点E出发沿对称轴右侧的抛物线运动，过点P作直线PQ平行于y轴交直线AL于点Q，保持点Q以每秒1个单位的速度向右运动，同时点R从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为t秒，
    ①若点P在直线AL的下方，当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似？
    ②当t=0时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，如图2，是否还存在另外的t值，使以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求出t的值，并直接写出该梯形的面积；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据顶点坐标设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，然后把点A的坐标代入求出a的值即可得解，再令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到点B的坐标；
    （2）①先求出抛物线的对称轴解析式，再根据点P、R的速度求出AQ，OR，利用抛物线解析式表示出PQ，再分AQ和AO是对应边，AQ和OR是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到t的值；
    ②点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，根据点C的坐标求出时间，然后表示出AQ、PR，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解；AP∥QR时，根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PQR，设PQ与x轴相交于D，从而得到△APQ和△RQD相似，然后表示出AQ、RD，再根据抛物线解析式表示出PQ，利用相似三角形对应边成比例列式求出时间t，再根据梯形的面积=S△APQ+S△PQR，列式计算即可得解．
    解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
    把（0，3）代入，得，a+4=3，
    解得，a=-1，
    所以，函数的解析式为，y=-（x-1）2+4，
    即：y=-x2+2x+3，
    在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，
    解得，x=-1或3，
    所以，B点的坐标是（-1，0）；

    （2）①∵y=-（x-1）2+4，
    ∴抛物线的对称轴为直线x=1，
    ∵点Q的速度为每秒1个单位，点R的速度为每秒2个单位，
    ∴AQ=t+1，OR=2t，
    ∵点P在抛物线上，PQ∥y轴，
    ∴PQ=3-[（-（t+1）2+2（t+1）+3]=（t+1）2-2（t+1），
    若AQ和AO是对应边，∵△AQP∽△AOR，
    ∴
    AQ
    AO
    =
    PQ
    OR
    ，
    即
    t+1
    3
    =
    (t+1)2-2(t+1)
    2t
    ，
    解得t=3，
    若AQ和OR是对应边，∵△AQP∽△ROA，
    ∴
    AQ
    OR
    =
    PQ
    AO
    ，
    即
    t+1
    2t
    =
    (t+1)2-2(t+1)
    3
    ，
    整理得，2t2-2t-3=0，
    解得t1=
    1+
    		7
    2
    ，t2=
    1-
    		7
    2
    （舍去），
    综上所述，t=
    1+
    		7
    2
    或3时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOR相似；

    ②当点P在x轴上即点P与点C重合时，PR∥AQ，四边形APRQ是梯形，
    ∵点C的坐标为（3，0），
    ∴AQ=t+1=3，
    解得t=2，
    ∴AQ=2+1=3，PR=OR-OP=2×2-3=1，
    S梯形AQRP=
    1
    2
    （3+1）×3=6；

    AP∥QR时，∠APQ=∠PQR，
    设PQ与x轴相交于D，
    又∵∠AQP=∠RDQ=90°，
    ∴△APQ∽△RQD，
    ∵AQ=t+1，RD=OR-OD=2t-（t+1）=t-1，
    PQ=（t+1）2-2（t+1），
    ∴
    AQ
    RD
    =
    PQ
    QD
    ，
    即
    t+1
    t-1
    =
    (t+1)2-2(t+1)
    3
    ，
    整理得，（t-1）2=3，
    解得t=1+
    		3
    或t=1-
    		3
    （舍去），
    此时，PQ=（1+
    		3
    +1）2-2（1+
    		3
    +1）=2
    		3
    +3，
    AQ=1+
    		3
    +1=2+
    		3
    ，
    RD=1+
    		3
    -1=
    		3
    ，
    梯形的面积=S△APQ+S△PQR，
    =
    1
    2
    ×（2+
    		3
    ）×（2
    		3
    +3）+
    1
    2
    ×（2
    		3
    +3）×
    		3
    ，
    =
    1
    2
    ×（2
    		3
    +3）×（2+
    		3
    +
    		3
    ），
    =（2
    		3
    +3）×（1+
    		3
    ），
    =2
    		3
    +6+3+3
    		3
    ，
    =9+5
    		3
    ．
    综上所述，t=2时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是6，
    t=1+
    		3
    时，以点A、P、R、Q为顶点的四边形是梯形，面积是9+5
    		3
    ．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，梯形的对边的性质，（1）利用顶点式形式求解更加简便，（2）难点在于两个小题都要分情况讨论．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知二次函数的图象是经过点A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛物线．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）如图，设抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴正半轴上有一点P，且以A、O、P为顶点的三角形与△ACD相似，求P点的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    精英家教网阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=
    12
    ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
    解答下列问题：
    如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
    （3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴分别交AB、x轴于点D、M，连接PA、PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；
    （4）在（2）的条件下，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h、面积为S，请分别写出h和S关于x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，矩形ABCD，点C与坐标原点O重合，点A在x轴上，点B坐标为（3，
    		3
    ），求经过A、B、C三点抛物线的解析式；
    （2）如图2，抛物线E：y=-
    1
    2
    x2+bx+c    经过坐标原点O，其顶点在y轴左侧，以O为顶点作矩形OADC，A、C为抛物线E上两点，若AC∥x轴，AD=2CD，则抛物线的解析式是
     
    ；
    （3）如图3，点A、B、C分别为抛物线F：y=ax2+bx+c（a＜0）上的点，点B在对称轴右侧，点D在抛物线外，顺次连接A、B、C、D四点，所成四边形为矩形，且AC∥x轴，AD=2CD，求矩形ABCD的周长（用含a的式子表示）．
    精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，将抛物线y=-
    1
    2
    x2    平移后经过原点O和点A（6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线y=-
    1
    2
    x2    相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读材料：
    如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

    解答下列问题：
    如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点B为抛物线与y轴的交点，求直线AB的解析式；
    （3）设点P是抛物线（第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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