Question

以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点得四边形EFGH．如图，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；

(1)如图，当四边形ABCD为矩形时，则四边形EFGH的形状是________；

(2)如图，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α(0°＜α＜90°)，

①试用含α的代数式表示∠HAE＝________；

②求证：HE＝HG；

③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)答：四边形EFGH的形状是正方形　　1分 　　(2)解：①∠HAE＝90°＋a　　2分　　②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE＝AB，DG＝CD， 　　在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG　　3分 　　∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA＝∠CDG＝45°， 　　∴∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE　　4分 　　∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD， 　　∴△HAE≌△HDG　　5分 　　∴HE＝HG　　6分 　　③答：四边形EFGH是正方形　　7分 　　理由是：由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE　　8分 　　∵HE＝HG，∴GH＝GF＝EF＝HE， 　　∴四边形EFGH是菱形　　9分 　　∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG＝∠AHE， 　　∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°， 　　∴四边形EFGH是正方形　　10分