Question

15．如图，点A，B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，且点A，B的横坐标分别为a和2a（a＞0）．过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接OA，△AOC的面积为2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P，Q在这个双曲线位于第三象限的一支上，点P的横坐标为-2．若△POQ与△AOB的面积相等，写出Q点的坐标（-1，-4），（-4，-1）．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S_△AOC=$\frac{1}{2}$k=2，依此求出k的值，即可得到反比例函数表达式；
（2）作BD⊥x轴于点D，则S_△AOC=S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4=2．由点A，B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，且点A，B的横坐标分别为a和2a（a＞0），求出A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），然后根据S_△AOB=S_梯形ABDC+S_△AOC-S_△BOD=S_梯形ABDC=$\frac{1}{2}$（BD+AC）•CD，代入数值计算即可；
（3）先求出P（-2，-2），设Q点的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）．再作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N，由（2）知S_△POQ=S_梯形PMNQ=3，那么$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{m}$）×|m+2|=3．然后分①m＜-2；②m＞-2两种情况进行讨论即可求解．

解答 解：（1）∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为2，
∴$\frac{1}{2}$k=2，
∴k=4，
∴反比例函数表达式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）如图，作BD⊥x轴于点D，则S_△AOC=S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4=2．
∵点A，B在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，且点A，B的横坐标分别为a和2a（a＞0），
∴A（a，$\frac{4}{a}$），B（2a，$\frac{2}{a}$），
∴S_△AOB=S_梯形ABDC+S_△AOC-S_△BOD
=S_梯形ABDC
=$\frac{1}{2}$（BD+AC）•CD
=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{4}{a}$）×（2a-a）
=3；

（3）∵点P在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，点P的横坐标为-2，
∴y=$\frac{4}{-2}$=-2，即P（-2，-2）．
设Q点的坐标为（m，$\frac{4}{m}$）．
如图，作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N，
由（2）知S_△POQ=S_梯形PMNQ=3，
所以$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{m}$）×|m+2|=3，
①如果m＜-2，那么$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{m}$）×（-m-2）=3，
化简整理得，m²+3m-4=0，
解得m₁=-4，m₂=1（不合题意舍去），
所以Q点坐标为（-4，-1）；
②如果m＞-2，那么$\frac{1}{2}$（2-$\frac{4}{m}$）×（m+2）=3，
化简整理得，m²-3m-4=0，
解得m₁=-1，m₂=4（不合题意舍去），
所以Q点坐标为（-1，-4）；
综上所述，Q点坐标为（-1，-4），（-4，-1）．
故答案为（-1，-4），（-4，-1）．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．