【题目】如图,点D为⊙O上的一点,点C在直径BA的延长线上,并且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作O的切线,交CD的延长线于点E,若BC=12,tan∠CDA=,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析(2)5
【解析】
试题分析:(1)连OD,OE,根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠1,于是∠CDA+∠ADO=90°;
(2)根据切线的性质得到ED=EB,OE⊥BD,则∠ABD=∠OEB,得到tan∠CDA=tan∠OEB=,易证Rt△CDO∽Rt△CBE,得到
,求得CD,然后在Rt△CBE中,运用勾股定理可计算出BE的长.
(1)证明:连OD,OE,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,
又∵∠CDA=∠CBD,
而∠CBD=∠1,
∴∠1=∠CDA,
∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∵EB为⊙O的切线,
∴ED=EB,OE⊥DB,
∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠OEB,
∴∠CDA=∠OEB.
而tan∠CDA=,
∴tan∠OEB==
,
∵Rt△CDO∽Rt△CBE,(1)证明:连OD,OE,如图,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,
又∵∠CDA=∠CBD,
而∠CBD=∠1,
∴∠1=∠CDA,
∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,
∴CD是⊙O的切线;
∴,
∴CD=×12=8,
在Rt△CBE中,设BE=x,
∴(x+8)2=x2+122,
解得x=5.
即BE的长为5.
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