Question

已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2

m

ax=0有两个相等的实数根，试说明△ABC一定是直角三角形．

Answer 1

分析：先把方程一般式得（c+b）x²-2

m

ax+m（c-b）=0，再根据△的意义得到（-2

m

a）²-4m（c+b）（c-b）=0，化简得到a²+b²=c²．根据勾股定理的逆定理得到△ABC一定是直角三角形．

解答：解：方程化为一般式得（c+b）x²-2

m

ax+m（c-b）=0，
∵关于x的一元二次方程c（x²+m）+b（x²-m）-2

m

ax=0有两个相等的实数根，
∴（-2

m

a）²-4m（c+b）（c-b）=0，
∴4ma²-4m（c²-b²）=0，
∴a²+b²=c²．
∴△ABC一定是直角三角形．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．