Question

一次函数y=x+3与y=-x+q的图象都过点A（m，0），且与y轴分别交于点B、C．
（1）试求△ABC的面积；
（2）点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）过△ABC的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC的面积？若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）把A（m，0）代入y=x+3有：0=m+3，
得：m=-2，即得点A（-2，0）
y=x+3，当x=0时，y=3，
∴点B（0，3）
把A（-2，0）代入y=-x+q有：0=-×（-2）+q，q=-1．
∴y=-x-1，当x=0时，y=-1，∴点C（0，-1）
故S_△ABC=BC×AO=×4×2=4．
（2）D₁（-2，4）、D₂（-2，-4）、D₃（2，2）．
（3）若过点A，则这条直线过BC的中点（0，1），得直线l₁：y=x+1；
若过点C，则这条直线过AB的中点（-1，），得直线l₂：y=-x-1；
若过点B，则这条直线过AC的中点（-1，-），得直线l₃：y=x+3．
分析：（1）把A（m，0）代入y=x+3求出m的值，得到点A的坐标，把点A的坐标代y=-x+q中，求出q的值，得到B，C两点的坐标，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．
（2）根据平行四边形的性质可以直接写出点D的坐标，这样的D点有三个．
（3）过三角形一个顶点的直线把三角形的面积平分，这样的直线是三角形的中线，所以分别求出三角形的中线的解析式．
点评：本题考查的是一次函数的综合题，（1）根据题意求出A，B，C三点的坐标，求出三角形的面积．（2）由平行四边形的性质直接写出点D的坐标．（3）用待定系数法求出平分三角形面积的直线的解析式．