Question

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（6，4），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过AB的中点D，且与BC交于点E，连接DE．
（1）求k的值和直线DE的解析式；
（3）若点P是y轴上一点，且△OPE的面积与四边形ODBE的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据AB的中点D（6，2）求得双曲线解析式，继而结合矩形的性质知点E（3，4），待定系数法求得直线DE的解析式；
（2）先利用割补法求得四边形的面积，再依据△OPE的面积与四边形ODBE的面积相等求得点P的纵坐标即可得出答案．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（6，4），
∴AB的中点D的坐标为（6，2），
将点D（6，2）的坐标代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0），
得：k=6×2=12．
∵BC∥x轴，
∴点E的纵坐标与点B的纵坐标相等，
∴点E的纵坐标为4．
∵点E在双曲线上，
∴x=$\frac{12}{4}$=3，
∴点E在坐标为（3，4）．
设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点D（6，2）、E（3，4）的坐标代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$．
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+6．

（2）∵S_{四边形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE=6×4-$\frac{1}{2}$×6×2-$\frac{1}{2}$×4×3=12，
∴$\frac{1}{2}$×OP×CE=12，即$\frac{1}{2}$×OP×3=12，
∴OP=8．
∴点P的坐标为（0，8）或（0，-8）．

点评 本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及割补法求四边形的面积、矩形的性质是解题的关键．