Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=110°．
（1）当点E为AD中点时，求DF的长；
（2）在线段AD上是否存在一点E，使得F点为CD的中点？若存在，求出AE的长度；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=70°，
∴∠A=∠D=110°，
∴∠AEB+∠ABE=180°-110°=70°．
∵∠BEF=110°，
∴∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°，
∴∠ABE=∠DEF．
∴△ABE∽△DEF，
∴，
又∵E为AD中点，AB=DC=AD=9，
∴AE=DE=4.5，AB=9，
∴DF===2.25；

（2）不存在．
假设点E存在，设AE=x，则DE=9-x，
又F为CD中点，得到DF=CD=4.5，
由（1）得，
可得，
整理得x²-9x+40.5=0，
∵△=81-4×40.5=-81＜0，即方程无实数根，
∴E点不存在．
分析：（1）由AD与BC平行得到同旁内角互补，又AB=DC，得到同一底上的两个角相等，从而得到∠A=∠D=110°，在三角形ABE中，利用三角形的内角和定理得到其他两角之和为70°，又∠BEF=110°，根据平角定义得到剩下的两个角之和也为70°，等量代换可得∠ABE=∠DEF，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形ABE与三角形DEF相似，由相似得比例，由E为AD中点，求出AE与ED的长，把各边的长代入比例式，即可求出DF的长；
（2）假设存在这样的E使F为CD的中点，则DF等于CD的一半，即为4.5，设AE=x，则DE=9-x，把表示出的各边的长代入（1）得到的比例式中，得到关于x的一元二次方程，由根的判别式小于0得到此方程无解，故假设错误，所以不存在这样的E使F为DC中点．
点评：此题考查了相似三角形的判断与性质，等腰梯形的性质以及一元二次方程的解法，是一道探究型的题，第一小问注意利用角度之间的转换，证两三角形相似是解题的关键；第二小问，先对结论作出存在的假设，然后由假设出发，结合已知的条件或已挖掘的结论，结合图形，借助数学思想和方法，进行正确的计算和推理，得出结果，检验其结果是否与题设、定理及公理相符，若无矛盾，说明假设正确；若矛盾，假设错误，故不存在．