Question

如图，已知C是线段AB上的一个动点（不与端点重合），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①MN∥AB；②

1

MN

=

1

AC

+

1

BC

；③MN=

1

4

AB．其中正确结论的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．

解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴

CN

NE

=

DC

BE

①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴

AM

ME

=

AD

CE

②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴

CN

NE

=

AM

ME

∴MN∥AB，故本小题正确；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴

CN

NE

=

DN

NB

，
设

CN

NE

=

DN

NB

=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴

MN

AC

=

NE

CE

=

NE

NE+CN

=

1

k+1

，

MN

BC

=

DN

DB

=

k

k+1

，
∴

MN

AC

+

MN

BC

=1，
∴

1

MN

=

1

AC

+

1

BC

，故本小题正确；

（3）∵

1

MN

=

1

AC

+

1

BC

，
∴MN=

AC•BC

AC+BC

=

AC•BC

AB

，
设AB=a（常数），AC=x，则MN=

1

a

x（a-x）=-

1

a

（x-

1

2

a）²+

1

4

a≤

1

4

a，故本小题错误．
故选C．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用．