Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．

Answer 1

证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵EF∥AC，
∴∠AEF=∠CAE，
∴∠AEF=∠BAE，
∴AF=EF，
又∵BE⊥AD，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，
又∠AEF=∠BAE，
∴∠ABE=∠BEF，
∴BF=EF，
∴AF=BF，
∴F为AB中点．
分析：由AD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由EF与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠AEF=∠BAE，利用等角对等边得到AF=EF，再由AE与AD垂直，利用垂直的定义及直角三角形的两锐角互余，得到两对角之和为90°，由∠AEF=∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF=∠ABE，利用等角对等边得到BF=EF，等量代换得到AF=BF，即F为AB的中点，得证．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了转化及等量代换的思想，其中等腰三角形的判定方法简称“等角对等边”；等腰三角形的性质简称“等边对等角”．