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    如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一个动点(点C除外)，直线PM交AB的延长线于点D．

    1.求点D的坐标(用含m的代数式表示)；

    2.当△ADP是等腰三角形时，求m的值；

    3.设过点P、M、B的抛物线与x轴的正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图2)．当点P从原点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长(不写解答过程)．

     

    【答案】

     

    1.点D的坐标为（2，4－m）

    2.m的值为或或

    3.点H所经过的路径长为

    【解析】解：⑴由题意得CM=BM，

    ∵∠PMC=∠DMB，

    ∴Rt△PMC≌Rt△DMB，

    ∴DB=PC，

    ∴DB=2－m，AD=4－m,

    ∴点D的坐标为（2，4－m）.

    ⑵分三种情况

    ① 

    y
     

    x
     

    M
     

    D
     

    B
     

    P
     

    C
     

    O
     

    A
     
    若AP=AD，则4＋m2=(4－m)2，解得

    ②  若PD=PA

     
     

    F
     
    过P作PF⊥AB于点F（如图），

    则AF=FD=AD=（4－m）

    又OP=AF，

    ∴  

     

    ③若PD=DA，

    ∵△PMC≌△DMB，

    ∴PM=PD=AD=（4－m）,

    ∵PC2＋CM2=PM2，

    ∴

    解得(舍去)。

    综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或

    ⑶点H所经过的路径长为

     

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    （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

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    图1，周长=
    6
    6
                          
    图2，周长=
    2+2
    		17
    2+2
    		17

    （2）如图2，已知正方形ABCD边长为2，将正方形剪两刀成三部分，并拼成一个等腰非直角三角形，要求在原图上画出剪切线和拼成的三角形，并填出等腰三角形的周长．

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    （2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
    （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
    （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
    ①AE=EF是否总成立？请给出证明；
    ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，求此时点F的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，已知正方形ABCD与正方形DEFG，点A、D、E三点共线，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    （2）如图2，将图1中正方形DEFG绕点D，逆时针转到如图的位置，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    请说明理由．
    （3）如图3，以△ABC三边向外作三个正方形，分别为正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK，并且△ABC的边AC长为5，边AB长为4，则三角形AKE，三角形CDF，三角形BGH的面积和的最大值为
    30
    30
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （3）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE1∥CF1？若存在，请求出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

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