Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（0，3），顶点在直线y=-x+1上且在第四象限，顶点与原点的距离为5．
（1）求函数解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，求点A、B、C的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）设顶点坐标为（m，-m+1），根据两点间的距离公式得m²+（-m+1）²=5，解得m₁=2，m₂=-1，由于顶点在第四象限，所以m=2，即顶点坐标为（2，-1），再设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，把（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）把y=0代入y=x²-4x+3得x²-4x+3=0，再解方程即可确定A、B两点坐标分别为（1，0），（3，0），由（1）可得到顶点C的坐标为（2，-1）．

解答：解：（1）设顶点坐标为（m，-m+1），
∵顶点与原点的距离为5，
∴m²+（-m+1）²=5，解得m₁=2，m₂=-1，
∵顶点在第四象限，
∴m=2，即顶点坐标为（2，-1），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
把（0，3）代入得4a-1=3，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；
（2）把y=0代入y=x²-4x+3得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
∴该二次函数的图象与x轴交于A、B两点坐标分别为（1，0），（3，0），∵
顶点C的坐标为（2，-1）．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，对称即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．