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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P和动点Q分别从点B和点C同时出发，沿着△ABC逆精英家教网时针运动，已知动点P的速度为1（cm/s），动点Q的速度为2（cm/s）．设动点P、动点Q的运动时间为t（s）
    （1）当t为何值时，两个动点第一次相遇．
    （2）从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为8
    		3
    cm2    ．   （友情提示：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半）
    分析：（1）根据题意得方程2t=20+t，即可求出答案；
    （2）有3种情况①如图1，过Q作QH⊥BC于H，得到CQ=2t，∠HQC=30°，CH=t，求出QH的长，根据三角形的面积公式即可求出t的值；②如图2，与①类似即可求出t的值；③如图3：CQ=30-2t，CP=t-10，CH=
    1
    2
    （t-10），PH=
    		3
    2
    （t-10），得到方程的解不符合Q在BC上，综合上述得到答案．
    解答：精英家教网（1）解：根据题意得：2t=20+t，
    解得：t=20，
    答：当t为20时，两个动点第一次相遇．

    （2）解：△ABC是边长为10cm的等边三角形，
    ∴∠C=60°，
    有3种情况：①如图1，过Q作QH⊥BC于H，
    CQ=2t，∠HQC=30°，CH=t，由勾股定理得：QH=
    		3
    t，精英家教网
    由三角形面积公式得：
    1
    2
    （10-t）•
    		3
    t=8
    		3
    ，
    解得：t=2，t=8（舍去）；

    ②如图2，
    BQ=20-2t，CP=10-t，QH=（10-t）
    		3
    ，
    由三角形面积公式得：
    1
    2
    •（10-t）（10-t）
    		3
    =8
    		3
    ，
    解得：t=6或t=14，
    当t=14时，Q在BC上，舍去，
    ∴t=6；精英家教网

    ③如图3：CQ=30-2t，CP=t-10，CH=
    1
    2
    （t-10），PH=
    		3
    2
    （t-10），
    ∴
    1
    2
    （30-2t）•
    		3
    2
    （t-10）=8
    		3
    ，
    此方程无解；
    ∴t的值是8，2，
    答：从出发到第一次相遇这一过程中，当t为8和2时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为8
    		3
    cm2．
    点评：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是能进行分类讨论求出t的值．此题难度较大．
    练习册系列答案
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    精英家教网如图，△ABC是边长为a的等边三角形，O为△ABC的中心．将△ABC绕着中心O旋转120°．
    ①直接写出△ABC的内切圆半径r和外接圆半径R分别是多少？
    ②设点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=2DB，BE=2EC，CF=2FA，试画出△DEF，说明它的形状，并计算它的周长；
    ③根据“线动成面”的道理，△ABC的三条边AB、BC和CA在旋转过程中扫过的部分组成的平面图形的形状是什么？并计算出此图形的面积．

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    （2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
    （1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
    （2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

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    （2013•溧水县一模）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连结BD，交AC于F．
    （1）猜想BD与DE的位置关系，并证明你的结论；
    （2）求△BDE的面积S．

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    （2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
    （1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
    （2）求线段BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为
    6
    6
    ．

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