【题目】定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角
已知四边形ABCD是圆美四边形
求美角
的度数；
如图1，若
的半径为
，求BD的长；
如图2，若CA平分
，求证：
．
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【题目】如图，在△ABC 中，AB=4，D 是 AB 上的一点（不与点 A、B 重合），DE∥BC，交AC 于点 E.设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积为 S'.
（1）当D是AB中点时，求
的值；
（2）设AD=x，=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．
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【题目】从三角形
不是等腰三角形
一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
如图1，在
中，CD为角平分线，
，
，求证：CD为的完美分割线．
在中，
，CD是的完美分割线，且
为等腰三角形，求
的度数．
如图2，中，
，
，CD是的完美分割线，且是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
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【题目】已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．
（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，若∠ABC＝90°时，AB＝8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；
（3）如图1，当PQ＝2，求
的值．
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【题目】在矩形ABCD中，
，
，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为
，得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．
如图
，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为______；
如图
，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，
求证：
≌
；
直接写出线段DH的长度为______．
如图
设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，
的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
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【题目】如图，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2
,圆A的半径1，点O在BC边上运动（与点B/C不重合），设BO=X,△AOC的面积是y.
⑴求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围；
⑵以点O位圆心，BO为半径作圆O，求当○O与○A相切时，△AOC的面积.
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【题目】阅读理解：
如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝
．
得出结论：
（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；
应用结论：
（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．
（3）如图（2）若双曲线L1：y＝
（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．
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【题目】已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C。
（1）如图①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长（结果保留根号）；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
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【题目】自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：
使用次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5(含5次以上) |
累计车费 | 0 | 0.5 | 0.9 |
|
| 1.5 |
同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：
使用次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
人数 | 5 | 15 | 10 | 30 | 25 | 15 |
（Ⅰ）写出
的值；
（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由．
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