Question

10．已知抛物线y=x²+3x+c过两点（m，0）、（n，0），且m³+3m²+（c-2）m-2n-c=8，抛物线与双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）的交点为（1，d）．
（1）求抛物线与双曲线的解析式；
（2）已知点P₁，P₂，…，P₂₀₁₂都在双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，它们的横坐标分别为a，2a，…，2012a，O为坐标原点，记${S_1}={S_{△{P_1}{P_2}O}}，{S_2}={S_{△{P_1}{P_3}O}}，…$，点Q在双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＜0）上，过Q作QM⊥y轴于M，记S=S_△QMO．求${S_1}+{S_2}+…+{S_{2011}}+\frac{S}{2}+\frac{S}{3}+…+\frac{S}{2012}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程组，求出c的值，确定出抛物线解析式；根据题意求出k的值，即可确定出双曲线解析式；
（2）根据点P₁，P₂，…，P₂₀₁₂都在双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，它们的横坐标分别为a，2a，…，2012a，分别求出纵坐标，如图，过P₁、P_n+1分别作x轴、y轴的平行线，根据题意表示出S_n，再由Q在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，得到S=S_△QMO=1，即可求出所求式子的值．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}m（{m^2}+3m+c）-2（m+n）-c=8\\{m^2}+3m+c=0\\ m+n=-3\end{array}\right.$，
解得：c=-2，
∴y=x²+3x-2；
由$\left\{\begin{array}{l}{d=1+3-2}\\{d=\frac{k}{1}}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{k=2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{2}{x}$；
（2）∵点P₁，P_n+1（n=1，2，…，2011）都在双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）上，它们的横坐标分别为a，（n+1）a，
∴点P₁，P_n+1（n=1，2，…，2011）的纵坐标为$\frac{2}{a}$，$\frac{2}{（n+1）a}$，
如图，过P₁、P_n+1分别作x轴、y轴的平行线，
可得S_n=S_△P1Pn+1O=（n+1）a•$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}$a•$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}$（n+1）a•$\frac{2}{（n+1）a}$-$\frac{1}{2}$[（n+1）a-a][$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{（n+1）a}$]=n+$\frac{n}{n+1}$，
由Q在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，得到S=S_△QMO=1，
则S₁+S₂+…+S₂₀₁₁+$\frac{S}{2}$+$\frac{S}{3}$+…+$\frac{S}{2012}$=（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{2}{3}$）+…+（2011+$\frac{2011}{2012}$）=1+2+…+2011+1×2011=2025077．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．