Question

19．如图，抛物线y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，（A在B左侧），交y轴于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）求抛物线的对称轴及顶点坐标．
（3）抛物线上是否存在点F，使△ABF的面积为1？若存在，求F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据x²+4x+3=0，解得x₁=-3、x₂=-1，即点A（-3，0），B（-1，0），根据抛物线y=x²+4x+3交y轴于点C，可知当x=0时，y=3，所以C（0，3）；
（2）根据二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，顶点坐标为（$-\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$），求得抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）设出F点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将三角形ABF的面积用F点的横坐标表示出来，等于1，建立方程，解之即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+4x+3交x轴于A、B两点，
∴令y=0，则x²+4x+3=0，
解得x₁=-3、x₂=-1，即点A（-3，0），B（-1，0），
令x=0，则y=3，
∴C（0，3）；

（2）对称轴：$-\frac{b}{2a}$=$-\frac{4}{2×1}$=-2；
顶点坐标：x=$-\frac{b}{2a}$=-2，y=$\frac{4ac{-b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×1×3{-4}^{2}}{4×1}$=-1；
顶点坐标为（-2，-1）；
（3）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
设F点坐标为（m，m²+4m+3），
则S△ABF=$\frac{1}{2}×2$×|m2+4m+3|=1，
∴|m²+4m+3|=1，
∴m²+4m+3=1或m²+4m+3=-1，
解得：m=-2+$\sqrt{2}$或m=-2-$\sqrt{2}$或m=-2，
∴点满足要求的点F的坐标为：（-2+$\sqrt{2}$，1）、（-2-$\sqrt{2}$，1）、（-2，-1）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积的坐标表示，解一元二次方程等知识点，关键是第（2）问当中，将三角形ABF的高用F点纵坐标的绝对值表示，这样建立方程可一次性解出各个解，避免了分类讨论．