概念理解一组对边平行.另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．类比研究我们在学完平行四边形后.知道可以从对称性.边.角和对角线四个角度对四边形进行研究．请根据示例图形.完成表．四边形示例图形对称性边角对角线平行四边形(1)中心对称图形.对角线的交点是它的对称中心．两组对边分别平行.两组对边分别相等．两组对角分别相等．对角线互相平分．等腰梯形轴对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．概念理解
一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
类比研究
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究．请根据示例图形，完成表．

四边形	示例图形	对称性	边	角	对角线
平行四边形		（1）中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．	两组对边分别平行，两组对边分别相等．	两组对角分别相等．	对角线互相平分．
等腰梯形		轴对称图形，过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴．	一组对边平行，另一组对边相等．	（2）同一底上的两个角相等．	（3）对角线相等．

演绎论证
证明等腰梯形有关角和对角线的性质．
（4）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD是对角线．
求证：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
证明：
揭示关系
我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系．

（5）请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系．

分析（1）（2）（3）根据平行四边形、等腰梯形的性质即可解决问题．
（4）结论：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
方法一：过点D作DE∥AB，交BC于点E．首先证明四边形ABED是平行四边形，推出AB=DE，又AB=DC，推出DE=DC，推出∠DCE=∠DEC，推出∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再证明△ABC≌△DCB即可解决问题．
方法二：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F．由Rt△ABE≌Rt△DCF，推出∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再证明△ABC≌△DCB，即可．
（5）模仿三角形和一些特殊三角形之间的关系，画出图形即可．

解答解：（1）中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
（2）同一底上的两个角相等．
（3）对角线相等．
（4）∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
故答案分别为中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等；∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

方法一：
证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∴∠ABE=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=DC，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=BD．

方法二：
证明：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F．
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{AE=DF}\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=BD．

（5）如图所示．

点评本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等腰梯形的性质的证明、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会圆转化的思想思考问题，把四边形问题转化为三角形问题解决，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．

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