Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．
（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为 ， 伴随直线为 ， 抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为和；
（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D．
①若∠CAB=90°，求m的值；
②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值 时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）
（2）

解：①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m= （抛物线开口向下，舍去）或m=﹣ ，

∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣ ；

②设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），

∴ ，解得 ，

∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，

过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣ ）2﹣ ]，

∴S△PBC= ×[（2﹣（﹣1）]PQ= （x﹣ ）2﹣ m，

∴当x= 时，△PBC的面积有最大值﹣ m，

∴S取得最大值 时，即﹣ m= ，解得m=﹣2．

【解析】解：（1）∵y=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得 ，解得 或 ，
∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），
所以答案是：（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．