Question

1．如图，已知点E是正方形ABCD的边BC上的一点，把线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF，AF．
（1）求∠DCF的度数；
（2）若CE=3，BE=2，求△AEF的面积．

Answer 1

分析 （1）在AB上取一点G，使AG=CE，连接EG，由正方形的性质就可以得出△AGE≌△ECF，就可以得出∠AGE=∠ECF，根据BG=BF就可以得出∠BGE的值，就可以求出∠DCF的值；
（2）根据正方形的性质和勾股定理可求AE的长，根据旋转的性质可求EF的长，再根据三角形面积公式即可求解．

解答 解：在AB上取一点G，使AG=CE，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∴AB-AG=BC-CE，∠EAB+∠AEB=90°，
∴BG=BE．
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵∠AEF=90°
∴∠AEB+∠CEF=90°．
∴∠GAE=∠CEF．
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=EC}\\{∠GAE=∠CEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（SAS），
∴∠AGE=∠ECF，
∴∠AGE=135°，
∴∠DCF=135°-90°=45°．
（2）AB=BC=CE+BE=5，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{5}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
则EF=$\sqrt{29}$，
则△AEF的面积是$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$÷2=14.5．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．