Question

（2013•莒南县二模）已知直线y=2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，过点C（2，0）作直线AB的垂线，垂足为D．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求点C到直线AB的距离；
（3）推广：若已知直线y=k₁x+b₁和直线y=k₂x+b₂互相垂直，请猜想直线常数k₁、k₂之间的关系．只写出结论，无需证明．

Answer 1

分析：（1）如图直线AB的函数解析式为y=2x+2，即tan∠1=2，与直线AB垂直的直线CD的函数解析式为y=kx+b，即tan（180°-∠2）=k，所以利用正切三角函数的定义求得k的值，且C（2，0）代入方程，即可得出．
（2）由（1）的解答过程可以得到CD的长度；
（3）根据（1）中的两直线的函数表达式，得出k₁•k₂的值．

解答：解：（1）如图，∵直线AB的解析式为y=2x+2，
∴易求A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∴在直角△AOB中，tan∠1=

OB

OA

=2．即OB=2OA．
∵AB⊥CD，
∴tan∠1=

CD

AD

=2，
∴tan∠2=

AD

DC

=

1

2

，
∴tan（180°-∠2）=-tan∠2=-

1

2

．
故设直线CD的解析式为：y=-

1

2

x+b．
又∵C（2，0），
∴0=-

1

2

×2+b．
解得，b=1，
则直线CD的解析式为：y=-

1

2

x+1；

（2）由（1）知，tan∠1=

CD

AD

=2，即CD=2AD，AC=3．
则在直角△ACD中，AC²=AD²+CD²，即9=5AD²，
解得，AD=

3 5

5

，
则CD=2AD=

6 5

5

；

（3）k₁•k₂=-1．理由如下：
由（1）知，由图中图象得到直线AB的函数表达式y=2x+2，直线CD的函数表达式y=-

1

2

x+1
则k₁•k₂=2×（-

1

2

）=-1．

点评：本题考查了一次函数综合题．熟记一次函数图象与几何变换．互相垂直的两条直线的斜率的乘积等于-1．