已知矩形纸片ABCD中.AB＝2.BC＝3．操作:将矩形纸片沿EF折叠.使点B落在边CD上．探究: (1)如图1.若点B与点D重合.你认为△EDA1和△FDC全等吗?如果全等.请给出证明.如果不全等.请说明理由, (2)如图2.若点B与CD的中点重合.请你判断△FCB1.△B1DG和△EA1G之间的关系.如果全等.只需写出结果.如果相似.请写出结果.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．

操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．

探究：

（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA₁和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；

（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果，求出相应的相似比；

（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B₁C的长度为多少时，△FCB₁与△B₁DG全等．

【答案】

（1）全等；（2）△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁与△B₁DG相似，相似比为4：3；（3）B₁C=

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，即得∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，根据同角的余角相等可得∠A₁DE=∠CDF，即可证得结论；

（2）△B₁DG和△EA₁G全等证法同（1）；设FC=，则B₁F=BF=，B₁C=DC=1，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而求得△FCB₁与△B₁DG相似的相似比；

（3）设，则有，，在直角中，根据勾股定理列方程求解即可.

（1）全等．

∵四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，

由题意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，

所以∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，

所以∠A₁DE=∠CDF，所以△EDA₁≌△FDC（ASA）；

（2）△B₁DG和△EA₁G全等．

△FCB₁与△B₁DG相似，设FC=，则B₁F=BF=，B₁C=DC=1，

所以，所以，

所以△FCB₁与△B₁DG相似，相似比为4：3；

（3）△FCB₁与△B₁DG全等．设，则有，，

在直角中，可得，

整理得，解得(另一解舍去)，

所以，当B₁C=时，△FCB₁与△B₁DG全等．

考点：折叠问题的综合题

点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.

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