Question

如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）
∴A（2，-1）、D（-2，-1）；
由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax²，则有：
4a=-1，a=-
∴抛物线的解析式为：y=-x²．

（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，-a²），而R（a，1）、F（0，-1），
则：PF===a²+1，PR=1-（-a²）=a²+1．
∴PF=PR．

②由①得：RF=；
若△PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：
=a²+1，即：a⁴-a²-3=0，得：
a²=-4（舍去），a²=12；
∴a=±2，-a²=-3；
∴存在符合条件的P点，坐标为（2，-3）、（-2，-3）．

③同①可证得：QF=QS；
在等腰△SQF中，∠1=（180°-∠SQF）；
同理，在等腰△RPF中，∠2=（180°-∠RPF）；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=（360°-∠SQF-∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°-∠1-∠2=90°，
即△SFR是直角三角形．
分析：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．
（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；
②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；
③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状．
点评：该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强．在解答题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论．