Question

5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=2，则①∠CAB=45度；②线段ON的长为1．

Answer 1

分析 ①根据正方形对角线平分对角可得答案；
②作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM=$\sqrt{2}$，再根据角平分线性质得BM=MH=$\sqrt{2}$，则AB=2+$\sqrt{2}$，于是利用正方形的性质得到AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$+2，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，所以CH=AC-AH=2+$\sqrt{2}$，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．

解答 解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，
故答案为：45；

②作MH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MAH=45°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴AH=MH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∵CM平分∠ACB，
∴BM=MH=$\sqrt{2}$，
∴AB=2+$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$+2，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，CH=AC-AH=2$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
∵BD⊥AC，
∴ON∥MH，
∴△CON∽△CHM，
∴$\frac{OH}{MH}$=$\frac{CO}{HC}$，即$\frac{NO}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}$，
∴ON=1．
故答案为：1．

点评 此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．正方形对角线互相垂直平分且平分每一组对角．