Question

13．我们把自变量为x的函数记为f（x），对于函数f（x）的自变量取值范围内的任意一个x、都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数，对于函数f（x）的自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就叫做奇函数．
（1）对于反比例函数f（x）=$\frac{2}{x}$，判断它是奇函数还是偶函数，并说明理由
（2）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x（x≥0）}\\{a{x}^{2}+bx+c（x＜0）}\end{array}\right.$是奇函数，求常数a，b，c的值
（3）已知直线y=x+m与（2）中函数图象恰好有一个交点，求常数m的范围．

Answer 1

分析 （1）由于f（-x）=-$\frac{2}{x}$=-f（x），则根据新定义可判断反比例函数f（x）=$\frac{2}{x}$是奇函数；
（2）根据奇函数的定义得到f（-x）=-f（x）=-（x²-2x）=-x²+2x，于是得到自变量为-x的函数关系式为f（-x）=-（-x）²-2（-x），所以当x＜0时，函数关系式为f（x）=-x²-2x，从而得到a、b、c的值；
（3）先画出大致图象，如图，讨论：当x≥0时，利用方程x²-2x=x+m有相等实数解得到m=-$\frac{9}{4}$，则根据图象可得当m＜-$\frac{9}{4}$时，直线y=x+m与（2）中函数图象恰好有一个交点；当x＜0时，利用方程-x²-2x=x+m有相等实数解得m=$\frac{9}{4}$，则利用图象得到当m＞$\frac{9}{4}$时，直线y=x+m与（2）中函数图象恰好有一个交点．

解答 解：（1）反比例函数f（x）=$\frac{2}{x}$是奇函数．理由如下：
∵f（-x）=$\frac{2}{-x}$=-$\frac{2}{x}$=-f（x），
∴反比例函数f（x）=$\frac{2}{x}$是奇函数；
（2）∵x≥0时，f（x）=x²-2x，
而函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-（x²-2x）=-x²+2x，
∵f（-x）=-（-x）²-2（-x），
∴当x＜0时，f（x）=-x²-2x，
∴a=-1，b=-2，c=0；
（3）如图，当x≥0时，方程x²-2x=x+m有相等实数解，直线y=x+m与抛物线y=x²-2x（x≥0）只有一个公共点，即3²+4m=0，解得m=-$\frac{9}{4}$，所以当m＜-$\frac{9}{4}$时，直线y=x+m与（2）中函数图象恰好有一个交点；
当x＜0时，方程-x²-2x=x+m有相等实数解，直线y=x+m与抛物线y=-x²-2x（x＜0）只有一个公共点，即3²-4m=0，解得m=$\frac{9}{4}$，所以当m＞$\frac{9}{4}$时，直线y=x+m与（2）中函数图象恰好有一个交点，
综上所述，m的范围为m＞$\frac{9}{4}$或m＜-$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：通过阅读理解新定义且会应用新定义；会把抛物线与直线的交点问题转化为一元二次方程根的情况的问题；会利用数形结合和分类讨论的思想解决数学问题．