Question

19．先化简，再求值：$（\frac{a-1}{{{a^2}-4a+4}}-\frac{a+2}{{{a^2}-2a}}）÷（\frac{4}{a}-1）$，其中a是一元二次方程x²-4x-3=0的根．

Answer 1

分析 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．

解答 解：原式=[$\frac{a-1}{（a-2）^{2}}$-$\frac{a+2}{a（a-2）}$]÷$\frac{4-a}{a}$
=$\frac{a（a-1）-（a+2）（a-2）}{a（a-2）^{2}}$÷$\frac{4-a}{a}$
=$\frac{4-a}{a{（a-2）}^{2}}$•$\frac{a}{4-a}$
=$\frac{1}{{（a-2）}^{2}}$，
∵a是一元二次方程x²-4x-3=0的根，
∴a²-4a-3=0，解得a=2±$\sqrt{7}$，
当a=2+$\sqrt{7}$时，原式=$\frac{1}{{（2+\sqrt{7}-2）}^{2}}$=$\frac{1}{7}$；
当a=2-$\sqrt{7}$时，原式=$\frac{1}{{（2-\sqrt{7}-2）}^{2}}$=$\frac{1}{7}$．
故分式的值为$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．