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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知：如图，抛物线y=x2+4x+m与x轴的负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），过A、C两点作直线AC．
    （1）直接写出m的值及点A、B的坐标；
    （2）点P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S1、S2，且S1：S2=2：3，求点P的坐标；
    （3）①设⊙O′的半径为1，圆心O′在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙O′与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心O’的坐标；若不存在，请说明理由．
    ②探究：设⊙O′的半径为r，圆心O′在抛物线上运动，当r取何值时，⊙O′与两坐标轴都相切？
    分析：（1）将点C的坐标代入，即可求得m的值和二次函数的解析式，再让y=0，解一元二次方程，即可得出点A、B的坐标；
    （2）可得出直线AC的解析式，因为点P在线段AC上，设点P（x，x+3），S△ABP=
    1
    2
    AB•|x+3|，S△BPC=S△ABC-S△ABP，从而求得点P的坐标；
    （3）①：与坐标轴相切，则圆心在y=1，y=-1，x=-1或x=1三条直线上；②：与两坐标轴均相切，则圆心在y=-x或y=x上．
    解答：解：（1）∵抛物线y=x2+4x+m与与y轴交于点C（0，3），∴m=3，
    ∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
    令y=0，得x2+4x+3=0，
    即得x=-1或-3，
    ∴A（-3，0），B（-1，0），

    （2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
    ∴
    -3k+b=0
    b=3
    ，
    即得b=3，k=1，
    ∴直线AC的解析式为y=x+3，
    ∵P在线段AC上，∴设点P（x，x+3），
    ∴S1=S△ABP=
    1
    2
    AB•|x+3|=|x+3|，
    S2=S△BPC=S△ABC-S△ABP
    =
    1
    2
    ×2×3-
    1
    2
    AB•|x+3|
    =3-|x+3|，
    ∵S1：S2=2：3，
    ∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
    ∴|x+3|=
    6
    5
    ，
    解得x=-
    9
    5
    或-
    21
    5
    ，
    ∵P在线段AC上，∴-3＜x＜0，
    ∴舍去x=-
    21
    5
    ，
    ∴点P的坐标为（-
    9
    5
    ，
    6
    5
    ）；

    （3）①⊙O′的半径为1，圆心在y=1上，解得x=-2±
    		2
    ；
    圆心在y=-1上，解得x=-2；
    圆心在x=1上，解得y=8；
    圆心在x=-1上，解得y=0；
    ∴⊙O′的坐标为（-2，-1），（-2+
    		2
    ，1），（-2-
    		2
    ，1），（1，8），（-1，0）；
    ②）⊙O′的半径为r，与两坐标轴均相切，则圆心在y=-x或y=x上，
    圆心在y=x上，无交点；
    圆心在y=-x上，解得x=
    -5±
    		13
    2
    ，则r=
    5±
    		13
    2
    ，
    ∴当r=
    5±
    		13
    2
    时，⊙O′与两坐标轴都相切．
    点评：本题是一道中考压轴题，考查了抛物线解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．是一道难度较大的二次函数题，需注意分类讨论，全面考虑点O′所在位置的各种情况．难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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