Question

8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=60°，点E为四边形ABCD内部一点，连接AE、BE，∠AEB=∠CBE=90°，BC=3，则线段BE的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如图，延长AE交CD于F，交BD于O，连接BF．由△AOB∽△DOF，推出$\frac{AO}{DO}$=$\frac{BO}{OF}$，推出$\frac{AO}{BO}$=$\frac{DO}{OF}$，由∠AOD=∠BOF，推出△AOD∽△BOF，推出∠AFB=∠ADB=60°，推出∠BFC=∠C=60°，推出△BFC是等边三角形，延长即可解决问题．

解答 解：如图，延长AE交CD于F，交BD于O，连接BF．

∵∠AEB=∠CBE=90°，
∴AF∥BC，
∴∠OFD=∠C=60°，
∵∠ADB=60，AD=AB，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠ABO=∠DFO，∠AOB=∠DOF，
∴△AOB∽△DOF，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{BO}{OF}$，
∴$\frac{AO}{BO}$=$\frac{DO}{OF}$，∵∠AOD=∠BOF，
∴△AOD∽△BOF，
∴∠AFB=∠ADB=60°，
∴∠BFC=∠C=60°，
∴△BFC是等边三角形，
在Rt△EBF中，∵∠BEF=90°，BF=BC=3，∠EFB=60°，
∴EB=BF•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．