Question

18．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC=10，OA=6，则OM的长=$\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 先判断出ON是△BCF的中位线，得出CF=2ON，BN=$\frac{1}{2}$BC，进而用勾股定理求出ON=$\sqrt{10}$，利用垂心和直径所对的圆周角是直角判断出四边形AHCF是平行四边形，得出AH=CF，再判断出△AOH∽△ONM得出比例式，即可求出OM．

解答 解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF=∠BAF=90°，
∴ON∥FC，
∵OB=OF，
∴ON是△BCF的中位线，
∴CF=2ON．
∴BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=5，
在Rt△OBN中，OB=OA=6，BN=5，
∴ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∴CF=2ON=2$\sqrt{11}$，
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵CF⊥BC，
∴AH∥CF，
同理可得：CH∥AF，
∴四边形AHCF是平行四边形，
∴AH=CF=2$\sqrt{11}$
∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵ON⊥BC，
∴AH∥ON，
∴∠OAH=∠NOM，
∵OH⊥AM，
∴∠AOH=∠ONM=90°，
∴△AOH∽△ONM，
∴$\frac{AH}{OM}=\frac{AO}{ON}$，
∴$\frac{2\sqrt{11}}{OM}=\frac{6}{\sqrt{11}}$，
∴OM=$\frac{11}{3}$．
故答案为$\frac{11}{3}$．

点评 此题是三角形的五心，主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂心和外心的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解本题的关键是求出AH=CF=2ON=2$\sqrt{11}$．是一道很好的竞赛题．