Question

10．定义：如果点C将线段AB分成两条线段AC和BC，若$\frac{AC}{AB}$=2×$\frac{BC}{AC}$，那么称点C为线段AB的和谐点，$\frac{AC}{AB}$的比值称为和谐比．
（1）如图1，若线段AB的长为1，点C是线段AB的和谐点，求线段AC的长以及和谐比．
（2）如图2①，在△ABC中，CE是AB边上的高线，点D是AB边上一点，∠A=45°，∠ADC=60°，ED=BD，现给出如下命题：
①命题1：点D是线段AB的和谐点；
②命题2：点E是线段AD的和谐点．
判断命题是真命题还是假命题．
（3）如图2②，点C是线段AB的和谐点，⊙O是等边三角形ACD的外接圆，连接BD交⊙O于点E，连接AE交DC于点F，若等边三角形的边长为m，请用含m对的代数式表示线段DF的长．

Answer 1

分析 （1）设AC=x，根据和谐点的定义求出x，即可解决问题．
（2）①是真命题．根据和谐点的定义证明即可．②是假命题．根据和谐点的定义证明即可．
（3）如图②中，作DQ⊥AB于Q，FH⊥AD于H．设BC=y，由点C是线段AB的和谐点，可得$\frac{m}{m+x}$=$\frac{2x}{m}$，解得x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m，由△ABC是等边三角形，边长为m，由DQ⊥AC，DQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AQ=QC=$\frac{1}{2}$m，∠DAC=∠ACD=∠ADC=∠DEA=60°，推出QD=QB，推出∠B=45°，再证明∠DAF=45°，即可解决问题．

解答 解：（1）设AC=x，
∵点C是线段AB的和谐点，
∴$\frac{x}{1}$=2×$\frac{1-x}{x}$，
整理得x²+2x-2=0，
解得x=-1+$\sqrt{3}$或-1-$\sqrt{3}$（舍弃），
∴AC=$\sqrt{3}$-1，$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$-1．

（2）①是真命题．
理由：如图①中，设AE=a，
∵CE⊥AD，∠A=45°，∠ADC=60°，
∴∠ACE=∠A=45°，∠ECD=30°，
∴AE=EC=a，ED=BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{a+\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a+\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\sqrt{3}$-1，2×$\frac{DB}{AD}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a+\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$-1，
∴$\frac{AD}{AB}$=2×$\frac{BD}{AD}$，
∴点D是线段AB的和谐点．
②是假命题．
理由：如图①中，
由①可知：$\frac{AE}{AD}$=$\frac{a}{a+\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，2×$\frac{ED}{AE}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$≠2×$\frac{ED}{AE}$，
∴点E不是线段AD的和谐点．

（3）如图②中，作DQ⊥AB于Q，FH⊥AD于H．设BC=y，
∵点C是线段AB的和谐点，
∴$\frac{m}{m+x}$=$\frac{2x}{m}$，
整理得，2x²+2mx-m²=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m或$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$m（舍弃），
∵△ABC是等边三角形，边长为m，DQ⊥AC，
∴DQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，AQ=QC=$\frac{1}{2}$m，∠DAC=∠ACD=∠ADC=∠DEA=60°，
∵BC=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$m，
∴QB=QC+BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴QD=QB，
∴∠B=45°，
∵∠DEA=∠B+∠EAB=60°，
∴∠EAB=15°，
∴∠DAE=45°
∵FH⊥AD，
∴∠HAF=∠HFA=45°，
∴AH=HF，
在Rt△DHF中，设DH=y，∵∠DHF=30°，
∴DF=2DH=2y，FH=AH=$\sqrt{3}$y，
∵AD=m，
∴y+$\sqrt{3}$y=m，
∴y=$\frac{m}{\sqrt{3}+1}$，
∴DF=2y=$\frac{2m}{\sqrt{3}+1}$=（$\sqrt{3}$-1）m．

点评 本题考查圆综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、分式方程、和谐点的定义等知识，解题的关键是学会理解题意，学会构建方程解决问题，第三个问题的突破点是证明DQ=QB，属于中考压轴题．