Question

20．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB=3，△DEF是△ABC的内接等边三角形，且BD=$\sqrt{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 作辅助线，构建相似三角形和全等三角形，证明△BDN∽△AEM和△DNF≌△FME，由相似得：$\frac{BD}{AE}=\frac{DN}{EM}=\frac{BN}{AM}$，由全等得：DN=FM，FN=EM，根据等腰三角形BDH求DH和BH的长，利用60度角的三角函数求DN的长，从而得到NH的长，设AE=x，则EC=3-x，由比例式表示出EM和AM的长，代入AB列等式可求得x的值，最后利用勾股定理求BE的长．

解答 解：作∠BDN=∠AEM=15°，交AB于N、M，
∵∠C=90°，CA=CB，
∴∠A=∠B=45°，
∴△BDN∽△AEM，
∴$\frac{BD}{AE}=\frac{DN}{EM}=\frac{BN}{AM}$，
∵∠DNF=45°+15°=60°=∠EMF，
∴∠FEM+∠EFM=120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF=EF，∠DFE=60°，
∴∠DFN+∠EFM=120°，
∴∠FEM=∠DFN，
在△DNF和△FME中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FEM=∠DFN}\\{∠EMF=∠DNF}\\{EF=DF}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△FME（AAS），
∴DN=FM，FN=EM，
过D作DH⊥AB于H，
∴△DBH是等腰直角三角形，
∵BD=$\sqrt{3}$，
∴BH=DH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△DNH中，∠DNF=60°，
∴∠NDH=30°，
sin60°=$\frac{DH}{DN}$，
∴DN=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴NH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BN=BH-NH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
设AE=x，则EC=3-x，
∴$\frac{\sqrt{3}}{x}=\frac{\sqrt{2}}{EM}=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{AM}$，
∴EM=$\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3}}$，AM=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$x，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵AB=BN+FN+FM+AM，
∴$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{3}}$+$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$x=3$\sqrt{2}$，
解得：x=9-4$\sqrt{3}$，
∴AE=9-4$\sqrt{3}$，
∴EC=3-（9-4$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-6，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{3}^{2}+（4\sqrt{3}-6）^{2}}$=$\sqrt{93-48\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、相似三角形和全等三角形的性质和判定、三角函数和勾股定理，作辅助线构建相似三角形和全等三角形是本题的关键；有难度，计算量大．