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    （2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
    （1）求△AED的周长；
    （2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
    （3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
    （2）在△AED向右平移的过程中：
    （I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
    （II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
    （III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
    （3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
    ∴AD=BC=6．
    在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
    ∴AE=AD•cos30°=3
    		3
    ，DE=AD•sin30°=3，
    ∴△AED的周长为：6+3
    		3
    +3=9+3
    		3
    ．

    （2）在△AED向右平移的过程中：
    （I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．

    ∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0÷tan30°=
    		3
    t，
    ∴S=S△D0NK=
    1
    2
    ND0•NK=
    1
    2
    t•
    		3
    t=
    		3
    2
    t2；
    （II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．

    ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，
    ∴A0N=
    1
    2
    A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=
    		3
    3
    （6-t）．
    ∴S=S四边形D0E0KN=S△A0D0E0-S△A0NK=
    1
    2
    ×3×3
    		3
    -
    1
    2
    ×（6-t）×
    		3
    3
    （6-t）=-
    		3
    6
    t2+2
    		3
    t-
    3
    		3
    2
    ；
    （III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．

    ∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，
    ∴A0N=
    1
    2
    A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=
    		3
    （6-t）；
    易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
    S=S梯形BND0I-S△BKJ=
    1
    2
    [t+（2t-6）]•
    		3
    （6-t）-
    1
    2
    •（12-2t）•
    		3
    3
    （12-2t）=-
    13
    		3
    6
    t2+20
    		3
    t-42
    		3
    ．
    综上所述，S与t之间的函数关系式为：
    S=
    		3
    2
    t2(0≤t≤1.5)
    -
    		3
    6
    t2+2
    		3
    t-
    3
    		3
    2
    (1.5＜t≤4.5)
    -
    13
    		3
    6
    t2+20
    		3
    t-42
    		3
    (4.5＜t≤6)
    ．

    （3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
    理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，
    故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．
    （I）当QB=QP时（如答图4），

    则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
    即∠BCB1=30°，
    ∴α=30°；
    （II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
    若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），

    ∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
    即∠BCB1=75°，
    ∴α=75°；
    若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），

    ∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°，
    即∠BCB1=180°-∠B1CQ=180°-15°=165°，
    ∴α=165°．
    综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．
    点评：本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：其一，第（2）问的运动型问题中，分析三角形的运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；其二，第（3）问的存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点；其三，本题第（2）问中，计算量很大，容易失分．
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