Question

3．三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x²-16x+60=0的一个实数根，则此三角形的外接圆半径为5或$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先解方程，根据三角形的三边关系可知，方程的两个解都能和已知的两边构建成新的三角形，因此求此三角形的外接圆半径时，有两种情况：第一种情况：三边分别为6、8、10，是直角三角形，所以其斜边就是外接圆的直径，第二种情况：三边分别为6、6、8，等腰三角形，其外接圆的圆心是任意两边垂直平分线的交点，确定其圆心，利用勾股定理列方程可求其半径．

解答 解：x²-16x+60=0，
（x-10）（x-6）=0，
x=10或6，
当第三边为10时，因为6²+8²=10²，
∴此三角形是直角三角形，如图1，
此三角形的外接圆的直径为最大边10，
则此三角形的外接圆半径为5，
当第三边为6时，如图2，
过A作AD⊥BC，垂足为D，作AC的垂直平分线EF，交AC于E，交AD于F，则AF=FC，
∵AB=AC=6，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴F是△ABC外接圆的圆心，FC为外接圆的半径，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设FC=x，则AF=x，DF=2$\sqrt{5}$-x，
由勾股定理得：${x}^{2}=（2\sqrt{5}-x）^{2}+{4}^{2}$，
x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
综上所述，则此三角形的外接圆半径为5或$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、利用因式分解法解一元二次方程，明确三边垂直平分线的交点即是三角形外接圆的圆心，熟记特殊三角形的外接圆与外心：直角三角形的斜边是外接圆的直径，其斜边的中点即是外接圆的圆心．