Question

20．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线的性质可得DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，进而可得DG∥EF，DG=EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）根据直角三角形的性质可得CB=2OB=4，再根据三角形中位线的性质可得EF=$\frac{1}{2}$BC=2．

解答 （1）证明：∵AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：∵∠BOC=90°，∠OCB=30°，OB=2，
∴在Rt△BOC中，CB=2OB=4，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=2．

点评 此题主要考查了中点四边形和三角形中位线的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半