Question

如图，以正方形 ABCD的一边向形外作等边三角形CDE，AC与BE交于F，则图中与∠AFD（包括∠AFD）相等的角的个数有

1. A.
   5
2. B.
   6
3. C.
   7
4. D.
   8

Answer 1

C
分析：由正方形及等边三角形的边长相等，且DD为两图形的公共边，得到AD=AB=CD=AD=CE=DE，且正方形的四个角都为直角，等边三角形的三内角都为60°，且由正方形的对角线平分一组对角，得到∠BAF=∠DAF，利用SAS可证明三角形ABF与三角形ADF全等，从而得到∠AFB=∠AFD，然后由∠BCD为直角，∠DCE为60°的角求出∠BCE的度数，根据BC=EC，求出∠CBE的度数，由三角形的外角性质得到∠AFB为60°，∠AFB=∠AFD=60°，根据平角定义得到∠DFE也为60°，再利用对顶角相等得到∠CFE也为60°，最后加上等边三角形的三内角都为60°，得到所有与∠AFD（包括∠AFD）相等的角的个数即可．
解答：∵四边形ABCD是正方形，三角形DCE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=DE=CE，∠BCD=90°，∠BAF=∠DAF=45°，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°，
在△ABF与△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD=∠AFB，
∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=15°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°，
∴∠AFD=∠AFB=60°，
∴∠EFD=60°，且∠AFB=∠EFC=60°（对顶角相等），
则图中与∠AFD（包括∠AFD）相等的角有：
∠DCE，∠DEC，∠CDE，∠AFD，∠DFE，∠AFB，∠EFC，共7个．
故选C
点评：此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，以及对顶角的性质，借助图形，灵活运用性质求出∠AFD的度数是解本题的关键．本题还要注意答案要找全，不能漏解．