Question

如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E，求△ADE和直角梯形EBCD周长之比．

Answer 1

分析：设EF=x，DF=y，在△ADE中根据勾股定理可得列方程，从而得到三角形ADE的周长和直角梯形EBCD周长，从而可求得两者周长之比．

解答：解：根据切线长定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．
设EF=x，DF=y，
则在直角△AED中，AE=y-x，AD=CD=y，DE=x+y．
根据勾股定理可得：
（y-x）²+y²=（x+y）²，
∴y=4x，
∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，
∴两者周长之比为12x：14x=6：7，
故△ADE和直角梯形EBCD周长之比为6：7．

点评：此题考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出EB=EF，DF=DC，从而求解．