Question

如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A　   　，k=　   　；
（2）随着三角板的滑动，当a=时：
①请你验证：抛物线的顶点在函数的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y₂﹣y₁|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y₂﹣y₁|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，∴点A的坐标是（t，4）。
∵直线OA：y₂=kx（k为常数，k＞0），∴4=kt，则（k＞0）。
（2）①当a=时，，其顶点坐标为。
对于，当x=时，
∴点在抛物线上。
∴当a=时，抛物线的顶点在函数的图象上。
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K，

∵AC⊥x轴，∴AC∥EK。
∵点E是线段AB的中点，∴K为BC的中点。
∴EK是△ACB的中位线。
∴EK=AC=2，CK=BC=2。∴E（t+2，2）。
∵点E在抛物线上，
∴，解得t=2。
∴当三角板滑至点E为AB的中点时，t=2。
（3）如图2，由得，

解得，或x=0（不合题意，舍去）。
∴点D的横坐标是。
当时，|y₂﹣y₁|=0，由题意得，即。
又，
∴当时，取得最大值。
又当时，取得最小值0，
∴当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。
由题意，得，将代入得，解得。
综上所述，a与t的关系式为，t的取值范围为。

试题分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值：
（2）①求得抛物线y₁的顶点坐标，然后把该坐标代入函数，若该点满足函数解析式，即表示该顶点在函数图象上；反之，该顶点不在函数图象上。
②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线即可求得t=2。
（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是，则，由此可以求得a与t的关系式。由求得取得最大值时的x值，同时由时，取得最小值0，得出当时，的值随x的增大而减小，当时，的值随x的增大而增大。从而由题意，得，结合，求出t的取值范围。