Question

已知函数（是常数）
（1）若该函数的图像与轴只有一个交点，求的值；
（2）若点在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数都是随的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；
（3）设抛物线与轴交于两点，且，，在轴上，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出点P及△ABP的面积；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）①当时，函数为为一次函数，它的图像与x轴只有一个交点。
②当时，若函数的图像与x轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，解得。
综上所述，若函数的图像与x轴只有一个交点，则的值为0或。
（2）设反比例函数为，
∵点在反比例函数的图像上，∴，即.。
∴反比例函数为。
∵要使该反比例函数y随着x的增大而增大，则。
∵二次函数的对称轴为，
∴要使二次函数的y随着x的增大而增大，在的情况下，x必须在对称轴的左边，即。
综上所述，要使该反比例函数和二次函数都y随着x的增大而增大，必须且。
（3）存在。
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程方程的判别式，解得。
又∵，∴，解得或。
又∵，∴。
∴二次函数为。
设P（0，p）是满足条件的点，则，即。
∴。∴。∴。
∴。∴。
∴。
∴在y轴上，存在点P（0，）或（0，）,使△ABP是直角三角形，△ABP的面积为。

（1）分和两种情况讨论即可。
（2）根据二次函数和反比例函数的性质求解。
（3）若△ABP是直角三角形，则一定是∠APB=90⁰，从而由已知，，根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，求出k的值，进而根据勾股定理即可求得点P的坐标，求得△ABP的面积。