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已知抛物线抛物线(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(bn,0),当n=1时,第1条抛物线与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推.
(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为(              );
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(              );
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是       
(3)探究下列结论:
①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长,直接写出A0A1的值,并求出An-1An
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵与x轴交于点A0(0,0),∴―a12+ a1=0,∴a1=0或1。
由已知可知a1>0,∴a1=1。

令y1=0代入得:=0,∴x1=0,x2=2。
∴y1与x轴交于A0(0,0),A1(2,0)。∴b1=2。
又∵抛物线与x轴交于点A1(2,0),
∴―(2―a2)2+ a2=0,∴a2=1或4,∵a2> a1,∴a2=1(舍去)。
∴取a2=4,抛物线
(2)(9,9);(n2,n2);y=x。
(3)①∵A0(0,0),A1(2,0),∴A0 A1=2。
又∵
令yn=0,得,解得:x1=n2+n,x2=n2-n。
∴A n1(n2-n,0),A n(n2+n,0),即A n1 A n="(" n2+n)-( n2-n)="2" n。
②存在。是平行于直线y=x且过A1(2,0)的直线,其表达式为y=x-2。

试题分析:(1)将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值;a1的值知道了y1的解析式也就确定了,已知抛物线就可求出b1的值,又把(b1,0)代入y2,可求出a2,即得y2的解析式。
(2)用同样的方法可求得a3、a4、a5 ……由此得到规律
∵抛物线令y2=0代入得:,∴x1=2,x2=6。
∴y2与x轴交于点A1(2,0),A2(6,0)。
又∵抛物线与x轴交于A2(6,0),∴―(6―a3)2+a3=0。∴a3=4或9。
∵a3> a3,∴a3=4(舍去),即a3=9。∴抛物线y3的顶点坐标为(9,9)。

由抛物线y1的顶点坐标为(1,1),y2的顶点坐标为(4,4),y3的顶点坐标为(9,9),依次类推抛物线yn的顶点坐标为(n2,n2)。
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标,
∴顶点坐标满足的函数关系式是:y= x。
(3)①由(2)可知A0A1=2,A1A2=4,A2A3=6,得A n1 A n="2" n。
②猜测这是与直线y=x平行且过A(2,0)的一条直线,即y=x-2。
可用特殊值法验证:取,得所截得的线段长度为,换一组抛物线试试,求出的值也为
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