Question

12．如图1，矩形ABCD中，AB=6，∠DBC=30°，DM平分∠BDC交BC于M，△EFG中，∠F=90°，GF=$\sqrt{3}$，∠E=30°，点F、G、B、C共线，且G、B重合，△EFG沿折线B-M-D方向以每秒$\sqrt{3}$个单位长度平移，得到△E₁F₁G₁，平移过程中，点G₁始终在折线B-M-D上，△E₁F₁G₁与△DBM无重叠时，△E₁F₁G₁停止运动，设△E₁F₁G₁与△DBM重叠部分面积为S，平移时间为t，
（1）当△E₁F₁G₁的顶点G₁恰好在BD上时，t=4秒；
（2）直接写出S与t的函数关系式，及自变量t的取值范围；
（3）如图2，△E₁F₁G₁平移到G₁与M重合时，将△E₁F₁G₁绕点M旋转α°（0°＜α＜180°）得到△E₂F₂G₁，点E₁、F₁分别对应E₂、F₂，设直线F₂E₂与直线DM交于P，与直线DC交于Q，是否存在这样的α，使△DPQ为直角三角形？若存在，求α的度数和DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC交BD于点O，作OH⊥BC于点H，当△E₁F₁G₁的顶点E₁恰好在BD上时，点E平移到点O处．由此即可解决问题．
（2）分三种情形讨论①如图2中，当0＜t≤4时，重叠部分是四边形NF₁GH，根据S=S${\;}_{△{E}_{1}{F}_{1}G}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$计算．②如图3中，当4＜t≤7时，重叠部分是四边形GHNF₁，
根据S=S${\;}_{△{E}_{1}{F}_{1}G}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$计算．③如图4中，当7＜t≤8时，重叠部分是△GHN．
（3）存在．①如图5中，当∠DQP=90°时，此时只要证明四边形MCQF₂是矩形即可．②如图6中，当∠DPQ=90°时，点P与点F₂重合，点E、Q、C重合，此时α=120°，DQ=CD=6．

解答 解：（1）如图1中，连接AC交BD于点O，作OH⊥BC于点H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BO=OD，
∴BH=HC，
∴OH=$\frac{1}{2}$CD=3，
在Rt△DBC中，∵CD=6，∠DBC=30°，
∴BC=6$\sqrt{3}$，BD=12，BH=HC=3$\sqrt{3}$
∵在△EFG中，∠F=90°，GF=$\sqrt{3}$，∠E=30°，
∴EF=3，EB=2$\sqrt{3}$，
∴当△E₁F₁G₁的顶点E₁恰好在BD上时，点E平移到点O处．
此时t=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4，
∴t=4时，△E₁F₁G₁的顶点E₁恰好在BD上，
故答案为4．

（2）在Rt△DCM中，∵∠C=90°，CD=6，∠CDM=30°，
∴CM=2$\sqrt{3}$，DM=4$\sqrt{3}$，
∴BM=4$\sqrt{3}$．
①如图2中，当0＜t≤4时，重叠部分是四边形NF₁GH，

S=S${\;}_{△{E}_{1}{F}_{1}G}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）（2-$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
②如图3中，当4＜t≤7时，重叠部分是四边形GHNF₁，

S=S${\;}_{△G{E}_{1}{F}_{1}}$-S${\;}_{△HN{E}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$•[2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）]•[2-$\frac{1}{2}$（8-t）]=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
③如图4中，当7＜t≤8时，重叠部分是△GHN，

S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$t²-6$\sqrt{3}$t+24$\sqrt{3}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{5}{2}\sqrt{3}（0＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+\sqrt{3}t-\frac{\sqrt{3}}{2}（4＜t≤7）}\\{\frac{3\sqrt{3}}{8}{t}^{2}-6\sqrt{3}t+24\sqrt{3}（7＜t≤8））}\end{array}\right.$．

（3）存在．
理由：①如图5中，当∠DQP=90°时，

∵∠QCM=∠CQF₂=∠QF₂M=90°，
∴四边形MCQF₂是矩形，
∴CQ=MF₂=$\sqrt{3}$，∠F₂MC=90°
∴α=90°，DQ=CD-CQ=6=$\sqrt{3}$．
②如图6中，当∠DPQ=90°时，点P与点F₂重合，点E、Q、C重合，此时α=120°，DQ=CD=6．

综上所述，当α=90°，DQ=6-$\sqrt{3}$或α=120°，DQ=6时，△DPQ为直角三角形．

点评 本题考查四边形综合题、平移变换、旋转变换、多边形的面积等知识，解题的关键是学会讨论讨论，确定分段函数的自变量的取值范围是难点，学会画好图形解决问题，属于中考压轴题．