Question

如图，已知直线y=

5

12

x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）设F是x轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与x轴相切于点F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（3）设（2）中所作的⊙P的圆心坐标为P（x，y），求y与x的函数关系式；
（4）是否存在这样的⊙P，既与x轴相切又与直线y=

5

12

x+5相切于点B？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）令x=0以及y=0代入直线解析式可求出A，B的坐标；
（2）作出线段BF的垂直平分线进而过点F作垂直于x轴的直线交于点P，进而得出答案；
（3）做PD⊥y轴于D，根据勾股定理得出PB²=PD²+BD²，BP²=PD²+BD²．得出y与x的关系式即可；
（4）依题意可得AB²=OA²+OB²=AF²=13²，求出关于x的值代入解析式，求出y值即可，求出点P的坐标．

解答：解：（1）令y=0得x=-12，令x=0得，y=5，
∴A（-12，0），B（0，5）；

（2）如图：

（3）如图：过点P作PD⊥y轴于D，则PD=|x|，BD=|5-y|，PB=PF=y，
∵△BDP为直角三角形，
∴BP²=PD²+BD²，
即|y|²=|x|²+|5-y|²，
y²=x²+（5-y）²，
∴y与x的函数关系为y=

1

10

x²+

5

2

；

（4）存在．
解：∵AO=12，BO=5，
∴AB=

AO2+BO2

=13，
∵⊙P与x轴相切于点F，且与直线l相切于点B，
∴AB=AF，
∵AB²=OA²+OB²=13²，
∴AF²=13²，
∵AF=|x+1|，
∴（x+12）²=13²，
∴x₁=-25，x₂=1，
把x=-25，x=1代入y=

1

10

x²+

5

2

，
得y=65或y=2.6，
∴点P的坐标为（-25，65）或（1，2.6）．

点评：本题考查的是圆的综合以及一次函数的图形与应用的有关知识以及考生作图能力，难度中等．