Question

16．如图，已知等腰△ABC，AC=BC=10．AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求DF的长．

Answer 1

分析 （1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）由BC是⊙O直径，得到CD⊥AB，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，由于EF⊥AC，CD⊥AB，得出∠AFD=∠CDB=90°，推出△ADF∽△BCD，得到比例式，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接CD，OD，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠BDO，
∴∠A=∠BDO，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∵OD为半径，
∴EF是⊙O的切线；                                

（2）解：∵BC是⊙O直径，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=10，又AB=12，
∴AD=BD=6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，
∵EF⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AFD=∠CDB=90°，
又∵∠A=∠CBD，
∴△ADF∽△BCD，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{DF}{CD}$，
∴$\frac{6}{10}=\frac{DF}{8}$，即DF=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的判定、余角的概念与性质、等腰三角形的性质及平行线的性质等知识点，关键在于运用数形结合的思想，结合相关性质定理，正确的做出辅助线是解题的关键．