Question

如图，平面直角坐标系的单位是厘米，直线AB的解析式为y=

3

x-6

3

，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点．动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1cm的⊙C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设⊙C运动的时间为t，当⊙C和坐标轴相切时，求时间t的值．
（3）在点C运动的同时，另有动点P以2cm/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l垂直于x轴．若点C与点P同时分别从点B、点O开始运动，求直线l与⊙C所有相切时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由直线AB的解析式为y=

3

x-6

3

，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点，即可求得A、B两点的坐标；
（2）分别从当⊙C与y轴相切时，当⊙C与x轴相切，且在x轴下方时与当⊙C与x轴相切，且在x轴上方时去分析，利用切线的性质由相似三角形的性质，即可求得答案；
（3）分别从第一、二、三、四次相切时去分析求解，又由t≤

6+1

1.5

，即t≤

14

3

，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线AB的解析式为y=

3

x-6

3

，分别与x 轴y轴相交于A、B 两点．
∴当x=0时，y=-6

3

，当y=0时，x=6，
∴A（6，0），B（0，-6

3

）；（2分）

（2）∵A（6，0），B（0，-6

3

）；
∴OA=6，OB=6

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=12，
当⊙C与y轴相切时，设切点为D，连接CD，
则CD⊥y轴，
∴CD∥OA，
∴△BCD∽△BAO，
∴CD：OA=BC：AB，
即1：6=BC：12，
∴BC=2，
∵动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，
∴t=

2

3

；（4分）
当⊙C与x轴相切，且在x轴下方时，
设切点为E，连接CE，则CE⊥x轴，
∴CE∥OB，
∴△AEC∽△AOB，
∴EC：OB=AC：AB，
即1：6

3

=AC：12，
解得：AC=

2

3

3

，
∴BC=AC-EC=12-

2

3

3

，
∴t=4-

2

9

3

；
当⊙C与x轴相切，且在x轴上方时，BC=12+

2

3

3

，
∴t=4+

2

9

3

；（8分）
综上t=

2

3

或t=4-

2

9

3

或t=4+

2

9

3

；

（3）∵在Rt△AOB中，tan∠OBA=

OA

OB

=

3

3

，
∴∠OBA=30°，
∵动点C从点B出发沿射线BA以3cm/秒的速度运动，
∴⊙C沿x轴正方向的速度为每秒1.5cm，
①第一次相切时，2t-1.5t=1，得：t=2，P₁（4，0）；（9分）
②第二次相切  2t+1.5t+1=12，得t=

22

7

，P₂（

40

7

，0）；（10分）
③第三次相切  2t+1.5t-1=12，得t=

26

7

，P₃（

32

7

，0）；（11分）
④第四次相切  2t-12+1=1.5t，得t=22，
∵t≤

6+1

1.5

，即t≤

14

3

，
∴t=22＞

14

3

（不符合题意舍去）；（12分）
综上：p₁（4，0）或P₂（

40

7

，0）或P₃（

32

7

，0）．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系以及一次函数的性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．